Całki nieoznaczone z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

poznaniak 2 mies. temu +64

Szkoda, że nie miałem tego jak zaczynałem studia. Wykopuję dla potomnych ;]

#

pokaż komentarz

lbjaco 2 mies. temu -6

@poznaniak: tyle razy próbowałem zaliczyć całki...tyle poprawek, późnopopołudniowych spotkań z wykładowcą, który o nas i naszych poprawkach już dawno zapomniał...szkoda, że dopiero dzisiaj takie coś jest dostępne

#

pokaż komentarz

poznaniak 2 mies. temu +16

@lbjaco: De facto te rozwiązania są dostępne na matematyka.pl już dobre 3 lata ;]

#

pokaż komentarz

scyth 2 mies. temu +2

@poznaniak: Wcześniej były jako dłuuuugi post, teraz zebrane są w pdf. Ale masz rację, że były, a i same zadania przewijały się na forum w różnych postach.

#

pokaż komentarz

Evchem 2 mies. temu -2

@scyth: Dokładnie, ja znalazłem coś takiego jeszcze przed studiami w doc.

Jak ktoś studiuje i walczy z matmą to na pewno mu się to przyda :D

#

pokaż komentarz

Jerez1990 2 mies. temu +2

@poznaniak: o Kilka semstrów za dużo :) ale jak to powiedziałeś, dla potomnych

#

pokaż komentarz

poznaniak 2 mies. temu +2

@Jerez1990: Wiesz, jeszcze się kiedyś nieoczekiwanie okaże, że będzie trzeba gdzieś jakąś całkę obliczyć, to w ramach przypomnienia można te przykłady prześledzić :)

#

pokaż komentarz

Radikesz 2 mies. temu 0

@poznaniak: Dzięki temu sami je rozwiązaliśmy :)

#

pokaż komentarz

kossakov 2 mies. temu 0

@poznaniak: Całki bez Krysickiego/Włodarskiego? Nie wolno! ;)

#

pokaż komentarz

poznaniak 2 mies. temu +1

@kossakov: O pochodnych można napisać podobnie :)

#

pokaż komentarz

kubar3k 2 mies. temu +15

Przecież to przykłady z książki Krysickiego i Włodarskiego :) klasyka, lektura obowiązkowa dla każdego miłośnika całek

#

pokaż komentarz

calka 2 mies. temu 0

@kubar3k: do tego podręcznik Pana Wrony i matma na studiach nie jest straszna :)

#

pokaż komentarz

leniwiec_janusz 2 mies. temu +11

Wykopałbym gdyby to były przykłady całek podstępnych, dość złożonych, a nie zwykłe przykłady.

#

pokaż komentarz

pococimojlogin 2 mies. temu -3

@leniwiec_janusz: To są całki dla nowicjuszy (sam nim jestem) i da się je obliczyć za pomocą metod, które można opanować w 30 minut. Bardziej złożone całki liczy się innymi sposobami, których osobiście nie znam (mam nadzieję, że kiedyś poznam), ale mówiono mi o nich. Nie policzę ja (ani wolfram alpha) takiej całki: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%28e^%28x^2%29%29%28x^7-3%29^%281%2F3%29 A przykłady w wykopie w sam raz dla gimnazjalisty/licealisty lub kogoś, kto chce się nauczyć i potrenować coś nowego.

#

pokaż komentarz

trawiasty 2 mies. temu +6

@pococimojlogin: Bardziej złożone całki liczy się numerycznie :P

#

pokaż komentarz

glowa-na-tranzystorach 2 mies. temu +3

@pococimojlogin: W gimnazjum/liceum już dawno nie uczą całek, a niektóre całki po prostu nie mają rozwiązania w postaci wzoru jawnego, patrz http://en.wikipedia.org/wiki/Closed-form_expression i komentarze do http://math.stackexchange.com/questions/155/how-can-you-prove-that-a-function-has-no-closed-form-integral.

#

pokaż komentarz

pococimojlogin 2 mies. temu 0

@glowa-na-tranzystorach: Wiem, że nie uczą, dlatego piszę, że ten materiał przydatny dla gimnazjalistów/licealistów, którzy chcą się nauczyć czegoś więcej. Gdyby znali podstawy, to ten materiał raczej by się im nie przydał.

#

pokaż komentarz

cherrycoke2l 2 mies. temu +5

Ja całek uczyłem się z książki, którego tytułu dokładnie nie pamiętam, ale było to coś w stylu „x całek nieoznacznoych z rozwiązaniami” gdzie x to było chyba 200 albo 400. Koncepcja książki była podobna do tego pdf-a. Na początku rozdziału trochę o tym, jak to się rozwiązuje, a potem pełno przykładów najróżniejszych rodzajów. Pewnie można również łatwo znaleźć na Google.

#

pokaż komentarz

Woody_90 2 mies. temu +2

@cherrycoke2l:
Też takie coś miałem; z tej serii były jeszcze różne ich odmiany (oznaczone, podwójne i potrójne, krzywoliniowe), równania różniczkowe itp. Bez tych książek nigdy bym nie zaliczył matmy.

#

pokaż komentarz

Veuch 2 mies. temu +2

@cherrycoke2l: Zeszyty z Biblioteczki Opracowań Matematycznych, wydawnictwo Bila ;)

#

pokaż komentarz

Wiktor426 2 mies. temu 0

@cherrycoke2l: mega książka pomaga nauczyć się szybko i bezbłędnie liczyć podstawowe całki. Zwłaszcza zwracanie uwagi na często popełniane błędy.

#

pokaż komentarz

severian 2 mies. temu +1

@cherrycoke2l: Było ich 210. Też to liczyłem. Do tego kursy etrapeza (które są świetne swoją drogą) i jakoś przebrnąłem przez całki nieoznaczone.

#

pokaż komentarz

scyth 2 mies. temu +5

Jeszcze dodam dwa warte odwiedzenia miejsca (oprócz samego forum):
Rozwiązania zadań
Kompendium

#

pokaż komentarz

rationalistic 2 mies. temu +4

Nie oszukujmy się, że każdy student pierwszego roku nauk technicznych, ale też z pogranicza, większość tych całek rozwiązał. Tylko, że na ołówkiem na kartce, które po egzaminie z radością spalił. Dlatego bije pokłony do ziemi dla autorów opracowania za wklepanie ja na kompa :)

#

pokaż komentarz

Hans_Olo 2 mies. temu +3

Przeca Krysicki Włodarski to podstawa dla każdego kota, książka jest napisana jak dla małpy i nie potrzeba żadnych ściąg.

#

pokaż komentarz

Oskarek89 2 mies. temu +3

Ja ogólnie od zawsze lubiłem matematykę
Przed studiami tak wszyscy straszyli tymi całkami a jak dla mnie to całki są łatwe :D

#

pokaż komentarz

Vercetti 2 mies. temu +2

@Oskarek89: dzięki nim mogę obliczyć objętość łysiny Zbigniewa H.

#

pokaż komentarz

basista_malarz 2 mies. temu +38

@Oskarek89: Mnie też wszyscy straszyli, zwłaszcza nauczycielka. Mówiła, że na studiach sobie nie poradzę (podczas matematyki najczęściej zajmowałem się wszystkim, tylko nie matematyką). Baba nie miała racji. Poradziłem sobie dobrze, na histroii sztuki nie było matmy:)

#

pokaż komentarz

shenlon 2 mies. temu +14

A nie lepiej na Wolfram Alpha rozwiązywać i Show steps? Np. tutaj

#

pokaż komentarz

monochromatyczna 2 mies. temu +11

@shenlon: popieram! Tak się właśnie nauczyłam je rozwiązywać. Oczywiście nie wszystkie, ale najbardziej "klasyczne" z klasycznych - owszem.

#

pokaż komentarz

severian 2 mies. temu +45

@shenlon: Chyba, że ma się takiego wykładowce od matmy jak ja, gdzie Wolfram Alpha wyświetlał, że kroków nie pokaże, bo są zbyt skomplikowane.

#

pokaż komentarz

shenlon 2 mies. temu +1

@monochromatyczna: Zgadzam się ;) Aczkolwiek czasem daje dziwne wyniki ;)

#

pokaż komentarz

krzysiulek 2 mies. temu +6

@shenlon: Najlepiej to widać przy różnych funkcjach trygonometrycznych, w odpowiedziach w książce często jest zupełnie inna postać niż wynik wolframa i naprawdę nie widać, że to również jest poprawna odpowiedź.

#

pokaż komentarz

pococimojlogin 2 mies. temu -8

@shenlon: Te "dziwne wyniki" to często sprowadzenie do wspólnego mianownika. Wystarczy kliknąć show steps i zazwyczaj przedostatni krok (przed uproszczeniem) to to, co sami obliczymy. Poza tym wolfram błędnie oblicza pochodną z logarytmu naturalnego z np. 3x. Według tego, czego się uczyłem powinno wyjść 3/x, a podaje 1/x, a przecież to jest funkcja złożona. Z resztą sprawdź sam: http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+ln3x

#

pokaż komentarz

barbrzez 2 mies. temu +17

@pococimojlogin: źle sie nauczyles, pochodna z ln3x = (1/3x)(3x)'=(1/3x)3=1/x

#

pokaż komentarz

pococimojlogin 2 mies. temu +5

@barbrzez: Kurde, masz rację. Zapomniałem, że jeszcze najpierw z ln3x, czyli 1/3x, a potem dopiero razy pochodna funkcji wewnętrznej. Dzięki.

#

pokaż komentarz

barbrzez 2 mies. temu +7

@pococimojlogin: a widzisz tam taki znaczek '?

#

pokaż komentarz

pococimojlogin 2 mies. temu +6

@barbrzez: Tak, dlatego edytowałem komentarz :) Przyznaję, ja popełniłem błąd i to 2 razy.

#

pokaż komentarz

revolta 2 mies. temu +3

@severian: Pietraszko?

#

pokaż komentarz

calka 2 mies. temu +1

@revolta: nie. Kolega Inglot.

#

pokaż komentarz

abc1112 2 mies. temu 0

@shenlon: ale ten przykład to akurat Wolfram trochę od dupy strony oblicza.

#

pokaż komentarz

severian 2 mies. temu 0

@revolta: Nie znam człowieka, ale łączę się w bólu.

#

pokaż komentarz

Qlfon 2 mies. temu +6

Szczerze? To nie widzę sensu wykopywania. Jak ktoś potrafi użyć Google to bez problemu znajdzie mnóstwo takich opracowań. A jak nie potrafi, to i tak całek nigdy nie zrozumie. :)

#

pokaż komentarz

ubiquos 2 mies. temu +15

@Qlfon: Bordowy a nie wie, że wykop traktuje każde znalezisko związane z naukami ścisłymi na nabożną czcią. Powód zapewne banalny - większość wykopujących to studenci uczelni technicznych. Absolwenci zwykle mają to w d..

#

pokaż komentarz

mumiok1 2 mies. temu +4

@Qlfon: A ja widze sens :) W podziękowaniu za 5.0 z analizy wykopie :)

#

pokaż komentarz

Qlfon 2 mies. temu +21

@mumiok1: 5.0? Człowieku, profesorowie znają na 4,5 na 5.0 zna tylko... Boże to Ty? ;)

#

pokaż komentarz

MrsHamburger 2 mies. temu -2

@Qlfon: chwalisz się, że umiesz korzystać z google, czy co robisz? twój komentarz jest zbędny

#

pokaż komentarz

stawros35 2 mies. temu 0

@ubiquos: Oczywiście nie wszyscy absolwenci :) Widzę, że Krysicki i Włodarski to wciąż klasyka, człowiek żałuje tylko, że takich opracowań 20 lat temu nie było. O ile życie byłoby prostsze.

Edit. I tak mi się przypomniało jak na późniejszych poprawkach wykładowca się pytał co się miało z analizy i człowiek mówił z dumą, że 3 1/2 (absolutnie nie mylić z 3+ bo to dwie różne oceny były), to jakoś te poprawki łatwiejsze były :)

#

pokaż komentarz

Qlfon 2 mies. temu 0

@MrsHamburger: Wybacz, że wyraziłem swoją opinię na temat znaleziska. Wysłać kwiaty?

#

pokaż komentarz

ubiquos 2 mies. temu 0

@stawros35: No nie wszyscy. Są na świecie ludzie, których podnieca liczenie ekstremów funkcji uwikłanych i preferują to zamiast wieczornego seksu. Ale to patologia, umówmy się... :)

#

pokaż komentarz

Kammil 2 mies. temu +2

I do czego w życiu przydaje się obliczanie całek? Pytam poważnie.

#

pokaż komentarz

Mopsiak 2 mies. temu +3

@Kammil: Takie nieistotne rzeczy, jak większość fizyki (ZNAKOMITA WIĘKSZOŚĆ). Bez analizy fizyke to se można policzyć kinematyka (ale i tak okrojoną, bo do pełnej kinematyki trzeba właśnie rachunku różniczkowego i całkowego). To co w szkołach uczą na fizyce to jakieś okrojone nie wiem co. Porządna fizyka wymaga dobrego opanowania analizy. Ponadto pewnie grafika komputerowa, geodezja, wyprowadzenie wzoru na pole koła, objętość stożka albo ostorsłupa (tak tak, nie ma ścisłego wyprowadzenia wzoru na objętość dowolnego ostrosłupa, bez twierdzenia Fubiniego- dość skomplikowanego twierdzenia o całkach Lebesgue'a). W ubezpieczeniach, w modelach ekonomicznych stosuje się całki. Co do przeciętnego człowieka. Liczenie całek rozwija umysł i jest wspaniałym ćwiczeniem. Hindusi mawiają, że matematyka to "trenażer umysłów".

#

pokaż komentarz

scyth 2 mies. temu +4

@Kammil: Same całki są potężnym narzędziem nie tylko dla analizy. Zresztą należy rozpatrywać rachunek różniczkowy i całkowy jako całość, dwie strony tej samej monety. Wracając do pytania (podaję takie najoczywistsze zastosowania, bo lista może być naprawdę długa):
- obliczenia powierzchni i objętości (klasyka)
- wszelkie zachodzące zmiany fizyczne, obliczenia inżynieryjne itp. - np. mając prędkość i czas obliczysz drogę - właśnie za pomocą całki
- w statystyce
- w teorii miary - np. odległości, fraktale itp.
- komputery - wykorzystują całkowanie numeryczne, transformacje funkcji (np. wavelets, nie wiem jak to jest po polsku - do odszumiania i innych zastosowań)

#

pokaż komentarz

Mopsiak 2 mies. temu 0

@scyth: Takie małe uzupełnienie, powiedzenie, że całkę stosuje się w teorii miary to tak jakby powiedzieć, że samochód stosuję się w gaźniku :P. Całka jest nieodłącznym elementem teorii miary :)

#

pokaż komentarz

abc1112 2 mies. temu 0

@Mopsiak: ale można natomiast tak zdefiniować całkę, żeby obejść się bez teorii miary :)

#

pokaż komentarz

Mopsiak 2 mies. temu 0

@abc1112: Całka to jest po prostu teoria miary, czy sobie zdefiniujesz mierzalność zbiorów czy nie (bo prawdopodobnie o to ci chodzi :P). W końcu służy do mierzenia czegoś :P (objętości n-wymiarowej konkretnie). Co nie zmienia faktu, że całka Lebeshuea, czyli oparta na mierzalności zbiorów ma dużo bardziej skomplikowaną definicję, ale dzięki temu, później wiele rzeczy się łatwiej liczy :). Np bardzo wygodne jest wchodzenie z granicą pod całkę itd.

#

pokaż komentarz

abc1112 2 mies. temu 0

@Mopsiak: chodzi mi tylko o to, że można zdefiniować całkę (i to chyba nawet równoważną całce Lebesgue'a) nie ruszając w ogóle teorii miary - zauważ, że w standardowym podejściu całka jest wtórna wobec miary. Znane mi są zalety całki Leb., aczkolwiek gdy będę miał więcej czasu, to chciałbym zająć się całką Kurzweila-Henstocka, która ma (podobno) znacznie prostszą definicję i jest (podobno) wygodniejsza.

#

pokaż komentarz

Mopsiak 2 mies. temu 0

@abc1112: Mówię ci, że można zdefiniować całkę Riemanna, bez pojęcia miary zbiorów i funkcji mierzalnych i będzie to na pewnej klasie funkcji rzeczywiście całka równoważna (w sensie, że będą te same wyniki). Ale to i tak jest teoria miary :P. Twoją wypowiedź można bardzo analogicznie przenieść na takie coś. "No można liczyć prawdopodobieństwo dyskretne, bez aksjomatów kołgomorowa, więc można liczyć jakieś tam prawdopodobieństwa, nie wnikając w Rachunek prawdopodobieństwa ". :P

#

pokaż komentarz

abc1112 2 mies. temu 0

@Mopsiak: Nie zrozumieliśmy się. Chodziło mi tylko o to, że najpierw możemy mieć całkę, a potem z niej wyprowadzać np. teorię miary (całka Daniella - sprawdziłem - jest równoważna całce Lebesgue'a).
Twoją wypowiedź można bardzo analogicznie przenieść na takie coś. "No można liczyć prawdopodobieństwo dyskretne, bez aksjomatów kołgomorowa, więc można liczyć jakieś tam prawdopodobieństwa, nie wnikając w Rachunek prawdopodobieństwa ". :P
Nie można. Z tej racji, że jeśli traktuję calkę jako pewien operator, którego zastosowanie na funkcji daje pewną liczbę, to do tego nie muszę mieć żadnego pojęcia, czy ta liczba jest jakąś objętością, miarą czegoś itd. Z prawdopodobieństwem trudno byłoby znaleźć analogiczne sensowne porównanie.

#

pokaż komentarz

Kammil 2 mies. temu 0

Pytałem o zastosowanie w życiu, chyba że ktoś zarabia obliczając zadania które można rozwiązać używając wolphram alfa.

#

pokaż komentarz

Mopsiak 2 mies. temu 0

@abc1112: Równie dobrze można by sobie wprowadzić operator określony na przestrzeni dyskretnej, przypisujący jakąś liczbę i nie mówić o prawdopodobieństwie. Co nie zmienia faktu, że będzie to podpadało pod rachunek prawdopodobieństwa. Podobnież z całką. Całka (taka czy inna) podpada pod teorię miary, nie wiem z czym tu się kłócić? Obliczenie pola kwadratu to też teoria miary choć nic się nie mówi o mierzalności itd.

#

pokaż komentarz

abc1112 2 mies. temu 0

@Mopsiak: W sensie zdroworozsądkowym masz rację :) Ale z matematycznego pktu widzenia nie możesz mieć teorii miary, nie definiując miary. I tylko do tego się wszystko, co napisałem sprowadza.

#

pokaż komentarz

abc1112 2 mies. temu +1

@Kammil: No właśnie są ludzie, którzy zarabiają na życie obliczając zadania, tylko że w zadaniach owych, to akurat całki są czymś tak podstawowym, jak dodawanie w zadaniach w liceum i Wolfram przydaje się tylko jako bardziej zaawansowany kalkulator (a w zasadzie mógłby się przydać, bo wątpię, żeby ktoś używał). A poza tym uważasz, że podane zastosowania to nie są zastosowania "w życiu"? Chyba, że miałeś na myśli szczęśliwe życie szczęśliwego (c)humanisty - wtedy faktycznie całki mu się do życia nie przydadzą.

#

pokaż komentarz

Larkin 2 mies. temu +1

Niech Bóg w dzieciach im tego pdf'a wynagrodzi.

#

pokaż komentarz

niemogewtouwierzyc 2 mies. temu 0

rok temu jeszcze to kumałem
teraz prawie nic z tego nie pamiętam :| pewnie przez to że ani razu do niczego nie użyłem w praktyce

fajnie że takie rzeczy pojawiają się na wykopie - może zacznijmy wrzucać wszystkie wykłady ze wszystkich kierunków i staniemy się elytą ynteligentów?

#

pokaż komentarz

MrsHamburger 2 mies. temu -2

@niemogewtouwierzyc:

i staniemy się elytą ynteligentów?
nie grozi ci to

#

pokaż komentarz

Mopsiak 2 mies. temu 0

Studiuję matmę, na I roku nasza Pani ćwiczeniowiec powiedziała z jakie zbiory zadań są fajne. Po wymienieniu paru dodała na końcu "No i Krysicki i Włodarski. No ale gdyby sie nauczyć nawet wszystkiego z nich to i tak było by za mało." :). No i miała rację :). A jeśli ktoś chce się dowiedzieć o bardziej wyrafinowanych metodach liczenia całek (nie aproksymacyjnie) to mogę coś tam powiedzieć :).

#

pokaż komentarz

Goomba 2 mies. temu -9

No to ocenimy poziom głównej :) Swoją drogą ja miałem całki w liceum, przykro patrzeć jak poziom edukacji w Polsce spada

#

pokaż komentarz

cinq 2 mies. temu +7

@Goomba: rewelacja! Tylko po co komu w średniej liczenie całek jako sztuka dla sztuki? Zwykłe trucie uczniom bez żadnego racjonalnego powodu.

#

pokaż komentarz

Luca24 2 mies. temu +2

@cinq: Całki może nie, ale pochodna przydaje się często w rozwiązywaniu zadań optymalizacyjnych (największe/najmniejsze pole, objętość, najbliższa odległość punktu), a jej też nie ma w szkole średniej. :)

#

pokaż komentarz

cinq 2 mies. temu 0

@Luca24: Pewnie, ale pochodne to także dużo więcej i to zaawansowanych zastosowań. Poza tym można je przedstawić jako kilka wzorów i z bańki, ale by wytłumaczyć skąd się biorą trzeba wprowadzić granice a to już nie szkoła średnia ;)
Z resztą tej matmy nie ma wcale tak wiele, by zajmować się takimi rzeczami. Imo lepiej niech się przyłożą do nauki tego co jest, zamiast poznawać pochodne i w dalszym ciągu gówno umieć ;)

#

pokaż komentarz

Zauropsyd 2 mies. temu 0

@cinq: Kilka lat temu miałem w LO pochodne i granice. Zadania rozwiązywałem, ale do dzisiaj nie wiem czym one w zasadzie są ;) Polski system edukacji.

#

pokaż komentarz

Clermont 2 mies. temu -1

Już nie przesadzajcie, że wcześniej takich opracowań nie było. Były i są dziesiątki takich opracowań - czy to w formie elektronicznej, czy papierowej. Moim zdaniem, zamiast przeładowywać zadaniami różniącymi się tylko potęgą przy iksie, mogli zróżnicować stopień trudności i np. po podstawach dać coś podchwytliwego, gdzie coś trzeba zauważyć + coś z zastosowań.
A i tak wystarczyłoby tylko dla chcących opanować podstawy podstaw całkowania, bo to tylko wierzchołek góry lodowej.

#

pokaż komentarz

wodzu91 2 mies. temu 0

Nie chcę robić tutaj reklamy ale polecam kursy wideo etrapez, są tam nie tylko całki, a koleś tłumaczy tak dobrze że trzeba bardzo się starać żeby nie zrozumieć.

#

pokaż komentarz

wrozka7 2 mies. temu 0

że też nie byłam użytkowniczką wykopu 4 lata temu gdy męczyłam się z całkami....

#

pokaż komentarz

Astolus 2 mies. temu 0

Właśnie dziś zacząłem całki, przyda się ;)

#

pokaż komentarz

ciakoc 2 mies. temu 0

Wykopię, jak dla mnie to znalezisko baardzo na czasie

#

pokaż komentarz

abc1112 2 mies. temu 0

Warto jeszcze się nauczyć czegoś, co amerykanie nazywają tablicowym całkowaniem przez części (link w powiązanych) - jest to tylko graficzne uproszczenie wzoru na n-krotne całkowanie przez części (podanego np. w Fichtenholzu), ale niezwykle przyspiesza liczenie.

#

pokaż komentarz

Całki nieoznaczone z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Powiązane

Komentarze (78)